已知四面体ABCD中,M,N分别是三角形ABC和ADC的重心,求证：MN平行于平面ABD

题目

已知四面体ABCD中,M,N分别是三角形ABC和ADC的重心,求证：MN平行于平面ABD

答案

取AC棱中点E,连结BE、DE,M、N分别是三角形ABC,ACD的重心,故M、N必然分别在中线BE和DE上,
在三角形MED中,
根据重心的性质,∵ME/BE=1/3,EN/ED=1/3,
∴ME/BE=EN/ED,
∴MN‖BD,
∵BD∈平面ABD,
∴MN‖平面ABD.
∵MN∈平面MNC,
BD‖MN,
∴MN‖平面CMN.