如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，求∠ABC的大小．

题目

如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，求∠ABC的大小．

答案

∵AD⊥BC，BE⊥AC（已知），
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°（垂直定义），
又∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），
∴△AEF∽△BDF（两对对应角相等的两三角形相似），
∴∠FAE=∠FBD（相似三角形的对应角相等），
在△BFD和△ACD中，

∠BDA＝∠ADC(已证) ∠FBD＝∠FAE(已证) BF＝AC(已知)

，
∴△BFD≌△ACD（AAS），
∴BD=AD（全等三角形的对应边相等），
∴∠BAD=∠ABD（等边对等角），
又∵∠ADB=90°（已证），
∴∠ABC=

180°−90°

2

=45°（三角形的内角和定理）．

由AD⊥BC，BE⊥AC，根据垂直定义可得∠ADB，∠ADC及∠BEC都为直角，又∠AFE与∠BFD为对顶角，可得三角形AEF与三角形BDF相似，由相似三角形的对应角相等可得∠FAE=∠FBD，又一对直角相等，加上已知的BF=AC，利用AAS可得三角形ADC与三角形BFD全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=BD，又AD与BD垂直，可得三角形ABD为等腰直角三角形，从而求出∠ABC的度数．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，学生做题时应挖掘题中隐含的条件，比如对顶角相等，垂直可得直角，结合图形，构造证明三角形全等的条件来解决问题，其中全等三角形的判定方法有SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形），熟练掌握三角形全等的判定方法是解本题的关键．