法向量和方向向量问题

题目

法向量和方向向量问题
问一道求向量问题, 求 x-2y+4z-7=0 3x+5y-2z+1=0 的直线的法向量和方向向量,并说出理由,谢谢

答案

直线只有方向向量,平面有法向量.不要混淆!空间直角坐标系中,一个三元一次方程表示一个平面,两个平面在相交时交于一条直线,所以两个三元一次方程联立可以表示一条直线,就是它们的交线.一个三元一次方程中三个变量的系数就是它的法向量的三个分量,平面x-2y+4z-7=0的法向量就是(1,-2,4),因为由方程知（7,0,0）是平面上的一点,（x,y,z)是平面上任意一点,向量（x-7,y-0,z-0）与(1,-2,4)的数量积为0,就是说,(1,-2,4)与平面内的任意向量都垂直.同理3x+5y-2z+1=0的法向量是(3,5,-2).如果用这两个平面方程联立表示一条直线的话,这个方程组的两个解就是直线上的两个点A（3,-2,0）和B（17/11,-8/11,1),这条直线的方向向量就是AB向量.