设函数f(x)=Inx-px+1,证明：ln2^2/2^2+ln3^2/3^2+……+lnn^2/n^2

题目

设函数f(x)=Inx-px+1,证明：ln2^2/2^2+ln3^2/3^2+……+lnn^2/n^2

答案

证明：取p=1
f(x)=lnx-x+1,x>=1
f'(x)=(1-x)/x<0,x>1
则f(x)在x>1上单调递减,又f(x)可在x=1处连续则
f(x)1,lnx-x+1<0,x>1
即lnx1
我们取n²(>1)替换上式x有
lnn²[lnn²]/n²<(n²-1)/n²=1-1/n²<1-1/[n(n+1)]=1-[(1/n)-1/(n+1)]
得到[lnn²]/n²<1-[(1/n)-1/(n+1)].(*)
将（*）中的n依次从2取到n累加有
[ln2²]/2²+[ln3²]/3²+...+[lnn²]/n²<(n-1)-{[1/2-1/3]+[1/3-1/4]+...+[1/n-1/(n+1)]=(n-1)-[1/2-1/(n+1)]
=(2n²-n-1)/[2(n+1)]
即[ln2²]/2²+[ln3²]/3²+...+[lnn²]/n²<(2n²-n-1)/[2(n+1)],n∈N+,n≥2命题得证.