已知命题p：“∀x∈[1，2]，1/2x2-ln x-a≥0”与命题q：“∃x∈R，x2+2ax-8-6a=0”都是真命题，求实数a的取值范围．

题目

已知命题p：“∀x∈[1，2]，

1

2

答案

∵∀x∈[1，2]，

1

2

x²-lnx-a≥0，
∴a≤

1

2

x²-lnx，x∈[1，2]，
令f（x）=

1

2

x²-lnx，x∈[1，2]，
则f′（x）=x-

1

x

，
∵f′（x）=x-

1

2

＞0（x∈[1，2]），
∴函数f（x）在[1，2]上是增函数、
∴f（x）_min=

1

2

，∴a≤

1

2

．
又由命题q是真命题得△=4a²+32+24a≥0，
解得a≥-2或a≤-4．
因为命题p与q均为真命题，
所以a的取值范围为（-∞，-4]∪[-2，

1

2

]