抛物线Y^2=4X与直线X+Y-2=0的交点为AB,抛物线的顶点为O,在抛物线弧AOB上求一点C,使△ABC的面积最大,并求之

题目

抛物线Y^2=4X与直线X+Y-2=0的交点为AB,抛物线的顶点为O,在抛物线弧AOB上求一点C,使△ABC的面积最大,并求之

答案

显然,C为平行于直线X+Y-2=0,并与抛物线相切的切线的切点
设切线方程为：x+y+a=0
则：把x=-y-a代人Y^2=4X得：
y^2+4y+4a=0
判别式△=16-16a=0
a=1
切线方程为：x+y+1=0
解方程组：
x+y+1=0
y^2=4x
得：x=1,y=-2
即：C点坐标为（1,-2）
求X+Y-2=0与X+Y+1=0的距离为：3√2/2
求得|AB|=4√6
△ABC的面积最大=1/2*4√6*3√2/2=6√3