用反证法证明欧里几得算法(辗转相除法).〈就是求两个数的最大公约数的那个〉

题目

用反证法证明欧里几得算法(辗转相除法).〈就是求两个数的最大公约数的那个〉
如题,尽量谢得通俗些.
我说的是反正法啊应该是证(m ,n)(n ,m mod m)的最大公约数相等.不是应该先设这两个的最大公约数不等的么?

答案

证明：a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
　　假设d是a,b的一个公约数,则有
　　d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
　　因此d是(b,a mod b)的公约数
　　假设d 是(b,a mod b)的公约数,则
　　d | b , d |r ,但是a = kb +r
　　因此d也是(a,b)的公约数
　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证