设a>0,b>0,a,b是常数,则当x>0时,函数f(x)=(x+a)(x+b)/x的最小值是?

题目

设a>0,b>0,a,b是常数,则当x>0时,函数f(x)=(x+a)(x+b)/x的最小值是?

答案

f(x)=(x^2+ax+bx+ab)/x
=x+a+b+ab/x
a+b是常数,所以使x+ab/x有最小值即可.
均值不等式,a>0,b>0,则a+b≥2√(ab)
此时a>0,b>0,x>0 所以有ab/x>0
因此可以用均值不等式：
x+ab/x≥2√(x*ab/x)
所以其最小值为2√(ab)
f(x)min=a+b+2√(ab)