f(x),g(x)都是R→R的连续函数,若g(x)=f(x)对所有有理数成立,求证：f=g

题目

f(x),g(x)都是R→R的连续函数,若g(x)=f(x)对所有有理数成立,求证：f=g

答案

只需证明对任意无理数x,有g(x)=f(x)成立即可
任意无理数x,都存在收敛于x的有理数列{xn},这样对于每个xn,有g(xn)=f(xn),两边取极限,注意到g(x),f(x)的连续性,有limg(xn)=limf(xn),limg(xn)=g(limxn)=g(x),limf(xn)=f(limxn)=f(x)
即g(x)=f(x)
从而对于任意实数x,g(x)=f(x),即f=g
证毕