当a为何实数时,关于x的方程x²+(a-2)x+a-3=0的两个实根m、n的平方和取得最小值?最小值是多少

题目

当a为何实数时,关于x的方程x²+(a-2)x+a-3=0的两个实根m、n的平方和取得最小值?最小值是多少

答案

由于x²+(a-2)x+a-3=0的两个实根为m、n
所以,有mn=a-3,m+n=-(a-2)=2-a
又m^2+n^2=(m+n)^2-2mn
=(2-a)^2-2(a-3)
=a^2-6a+10
=(a-3)^2+1
因此,当a=3时,取得最小值1