若整数n≥2,证明：n不被2^n-1整除

题目

若整数n≥2,证明：n不被2^n-1整除

答案

证明：反设n|(2^n-1),则n为奇数,令p为n的最小素因子,
则(n,p-1)=1
由Fermart小定理,
得p|(2^(p-1)-1),
又由p|(2^n-1),
得到p整除(2^n-1,2^(p-1)-1)=2^1-1=1
矛盾.
所以,n不被2^n-1整除