求证:无论m取何值时,方程(m+1)x-2mx+m^2+4没有实数根

题目

求证:无论m取何值时,方程(m+1)x-2mx+m^2+4没有实数根
(m+1)x^2-2mx+m^2+4=0

答案

证：
当m=-1,即m+1=0时：
原方程为：2x+1+4=0
解得：x=-5/2
显然,方程有实数根,
故：命题错误.

上解是一个特例.
楼主是不是要问一元二次方程（也就是m+1≠0时）的情况呀?
那就给原题增加一个条件：m≠-1,再证一遍.
证：
当m≠-1,即m+1≠0时：
(m+1)x^2-2mx+m^2+4=0
x^2-[2m/(m+1)]x+(m^2+4)/(m+1)=0
x^2-2×[m/(m+1)]x+[m/(m+1)]^2=[m/(m+1)]^2-(m^2+4)/(m+1)
[x-m/(m+1)]^2=[m/(m+1)]^2-(m^2+4)/(m+1)
[x-m/(m+1)]^2=[m^2-(m^2+4)(m+1)]/[(m+1)^2]
[x-m/(m+1)]^2=(m^2-m^3-m^2-4m-4)/[(m+1)^2]
[x-m/(m+1)]^2=-(m^3+4m+4)/[(m+1)^2]
[x-m/(m+1)]^2=-(m+1)(m^2-m+5)/[(m+1)^2]
[x-m/(m+1)]^2=-(m^2-m+5)/(m+1)
x=m/(m+1)±√[-(m^2-m+5)/(m+1)]
举例：当m=-10时,有：
x=(-10)/(-10+1)±√{-[(-10)^2+10+5]/(-10+1)}
x=10/9±√(115/9)
x=(10±3√115)/9
显然,此为实数根!
故：原命题错误!