3个质数的倒数之和是1661/1986,求这三个质数和

题目

3个质数的倒数之和是1661/1986,求这三个质数和

答案

设此三个质数为a,b,c
由1/a+1/b+1/c=1661/1986
所以(ab+bc+ac)/abc=1661/1986
(ab+bc+ac)*1986=1661abc
因为等式左边是2的倍数,所以abc能被2整除,又a,b,c都是质数,其中必有一个数为2,不妨设a=2,则有
1/2+1/b+1/c=1661/1986
1/b+1/c=334/993
所以334bc=993(b+c)
所以b+c必为偶数,故b,c都是奇数（因为b,c显然不都等于2)
(b+c)/bc=334/993
若b+c与bc的最大公约数为d,d|bc,所以d=1或d=b或d=c
若d=b,则有b|c,所以b=c,这时2/b=334/993,不合题意.
所以b+c与bc互素,所以b+c=334
bc=993
所以b=3,c=331或c=331,b=3
这三个质数和=334+2=336