已知函数f(x)=x2+2x. (Ⅰ)数列{an}满足:a1=1,an+1=f′(an),求数列{an}的通项公式;及前n项和Sn (Ⅱ)已知数列{bn}满足b1=t>0,bn+1=f(bn)(n∈N
题目
已知函数f(x)=x2+2x.
(Ⅰ)数列{an}满足:a1=1,an+1=f′(an),求数列{an}的通项公式;及前n项和Sn
(Ⅱ)已知数列{bn}满足b1=t>0,bn+1=f(bn)(n∈N*),求数列{bn}的通项公式.
答案
(Ⅰ)∵f(x)=x
2+2x,
∴f′(x)=2x+2,
∴a
n+1=f′(a
n)=2a
n+2,
∴
=2,又a
1+2=3,
∴数列{a
n+2}是以3为首项,2为公比的等比数列,
∴a
n+2=3×2
n-1,
∴a
n=3×2
n-1-2;
∴S
n=a
1+a
2+…+a
n=3(1+2+2
2+…+2
n-1)-2n
=3×
-2n
=3×2
n-2n-3.
(Ⅱ)∵b
n+1=f(b
n)=
bn2+2b
n,
∴b
n+1+1=
(bn+1)2,
两边取对数:lg(b
n+1+1)=2lg(b
n+1),
∴
=2
∴数列{lg(b
n+1)}是公比为2的等比数列,
又lg(b
1+1)=lg(t+1),
∴lg(b
n+1)=lg(t+1)•2
n-1=lg
(t+1)2n−1,
∴b
n+1=
(t+1)2n−1,
∴b
n=
(t+1)2n−1-1.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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