设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A（α1+α2）线性无关的充分必要条件是（　　） A.λ1=0 B.λ2=0 C.λ1≠0 D.λ2≠0

题目

设λ₁，λ₂是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为

α1

，

α2

，则

α1

，A（

α1

+

α2

）线性无关的充分必要条件是（　　）
A. λ₁=0
B. λ₂=0
C. λ₁≠0
D. λ₂≠0

答案

法一：
令：k₁α₁+k₂A（α₁+α₂）=0，
有：k₁α₁+k₂λ₁α₁+k₂λ₂α₂=0，
即：（k₁+k₂λ₁）α₁+k₂λ₂α₂=0，
由于α₁，α₂线性无关，
于是有：

k1+k2λ1＝0 k2λ2＝0

，
当λ₂≠0时，
显然有k₁=0，k₂=0，此时：α₁，A（α₁+α₂）线性无关；
反过来，
若α₁，A（α₁+α₂）线性无关，则必然有λ₂≠0（否则，α₁与A（α₁+α₂）=λ₁α₁线性相关）．
故选：B．
法二：
由于[α₁，A（α₁+α₂）]=[α₁，λ₁α₁+λ₂α₂]=[α₁，α₂]

1 λ1 0 λ2

，
所以：α₁，A（α₁+α₂）线性无关的充要条件是

.

1 λ1 0 λ2

.

=λ₂≠0，
故选：D．

讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可．

本题考点：向量组线性无关的判定与证明．

考点点评：本题考查了向量组线性无关的判定与证明，证明中利用了矩阵特征值与特性向量的概念与性质．