设n为自然数,对于任意实数xyz,恒有（x*x+y*y+z*z）^2

题目

设n为自然数,对于任意实数xyz,恒有（x*x+y*y+z*z）^2<=n(x^4+y^4+z^4)成立,则n的最小值是

答案

易知,此时应考虑x,y,z均不为0的情况才有意义.由题设及“柯西不等式”可知：（1+1+1)×(x^4+y^4+z^4)≥(x²+y²+z²)².∴(x²+y²+z²)²/(x^4+y^4+z^4)≤3.等号仅当x=y=z≠0时取得.对比可知,n的最小值为3.