若定义在R上的函数f(x)对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x>0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)-1为奇函数; (2)求证:f(x)是R上的增

若定义在R上的函数f(x)对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x>0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)-1为奇函数; (2)求证:f(x)是R上的增

题目
若定义在R上的函数f(x)对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:f(x)-1为奇函数;
(2)求证:f(x)是R上的增函数;
(3)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
答案
(1)定义在R上的函数f(x)对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,
令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)-1⇒f(0)=1,
令x1=x,x2=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1,
∴[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0,
∴f(x)-1为奇函数.
(2)由(1)知,f(x)-1为奇函数,
∴f(-x)-1=-[f(x)-1],
任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,
∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,
∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2)-[f(x1)-1]=
f(x2)-f(x1)+1.
∵当x>0时,f(x)>1,
∴f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+1>1,∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)是R上的增函数.
(3)∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,且f(4)=5,
∴f(4)=f(2)+f(2)-1⇒f(2)=3.
由不等式f(3m2-m-2)<3,得f(3m2-m-2)<f(2),
由(2)知,f(x)是R上的增函数,
∴3m2-m-2<2,∴3m2-m-4<0,∴-1<m<
4
3

∴不等式f(3m2-m-2)<3的解集为(-1,
4
3
).
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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