若定义在R上的函数f（x）对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，且当x＞0时，f（x）＞1． （1）求证：f（x）-1为奇函数； （2）求证：f（x）是R上的增

题目

若定义在R上的函数f（x）对任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）-1为奇函数；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若f（4）=5，解不等式f（3m²-m-2）＜3．

答案

（1）定义在R上的函数f（x）对任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，
令x₁=x₂=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）-1⇒f（0）=1，
令x₁=x，x₂=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）-1，
∴[f（x）-1]+[f（-x）-1]=0，
∴f（x）-1为奇函数．
（2）由（1）知，f（x）-1为奇函数，
∴f（-x）-1=-[f（x）-1]，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）-1=f（x₂）-[f（x₁）-1]=
f（x₂）-f（x₁）+1．
∵当x＞0时，f（x）＞1，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）+1＞1，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函数．
（3）∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，且f（4）=5，
∴f（4）=f（2）+f（2）-1⇒f（2）=3．
由不等式f（3m²-m-2）＜3，得f（3m²-m-2）＜f（2），
由（2）知，f（x）是R上的增函数，
∴3m²-m-2＜2，∴3m²-m-4＜0，∴-1＜m＜

4

3

，
∴不等式f（3m²-m-2）＜3的解集为（-1，

4

3

）．