若a+b+c=0,a²+b²+c²=1,求a的4次幂+b的4次幂+c的4次幂

题目

若a+b+c=0,a²+b²+c²=1,求a的4次幂+b的4次幂+c的4次幂
若a+b+c=0,a²+b²+c²=1,求a的4次幂+b的4次幂+c的4次幂

答案

a+b+c=0
两边平方 a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)=0
所以ab+bc+ac=-1/2
两边平方 (ab)^2+(bc)^2+(ac)^2+2(abbc+aabc+abcc)=1/4
[(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2+2abc(a+b+c)=1/4
因为a+b+c=0
所以 (ab)^2+(bc)^2+(ac)^2=1/4
a²+b²+c²=1
两边平方 a^4+b^4+c^4+2[(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2]=1
a^4+b^4+c^4=1- 2【(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2】=1/2