已知函数f(x)对任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).当x>0时,f(x)

题目

已知函数f(x)对任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).当x>0时,f(x)

答案

函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)
令：x=y=0代入可得：f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0
令y=-x代入可得：f(x-x)=f(x)+f(-x),
即f(0)=f(x)+f(-x), 从而 f(x)+f(-x)=0
所以：f(-x)=-f(x)
设任意实数x1,x2,且x1＜x2
则有：f(x2)-f(x1)=f(x2)+[-f(x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
由已知条件,x＞0时,有f(x)＜0；
现在x2-x1＞0,所以得到f(x2-x1)＜0,
即f(x2)-f(x1)＜0,由于x1＜x2,且都是实数.
f(x)在R上是减函数.
∵f(-1)=2

∴f(-2)=2f(-1)=4

f(-3)=f(-1)+f(-2)=6

f(3)=-6

∴最大值6,最小值-6