抛物线C:y²=4x与直线y=2x+k相交于AB两点,且|AB|=根号15在抛物线C上是否存在点P,

题目

抛物线C:y²=4x与直线y=2x+k相交于AB两点,且|AB|=根号15在抛物线C上是否存在点P,
使得△ABP的重心恰为抛物线C的焦点F,如存在,求点P的坐标,若不存在,请说明理由

答案

由抛物线C:y²=4x与直线y=2x+k,消去x得y^-2y+2k=0,△=4-8k,|AB|=√（5△）=√15,∴△=3,k=1/8,y1,2=1土√3,x1,2=1土√3/2,设P(y^/4,y),△ABP的重心恰为抛物线C的焦点F(1,0),(x1+x2+y^/4)/3=1,(y1+y2+y)/3=0,2+y^...