设x1，x2，…xn是整数，并满足： （1）-1≤xi≤2，i=1，2，…n； （2）x1+x2+…+xn=19； （3）x12+x22+…+xn2=99． 求x13+x23+…+xn3的最大值和最小

题目

设x₁，x₂，…x_n是整数，并满足：
（1）-1≤x_i≤2，i=1，2，…n；
（2）x₁+x₂+…+x_n=19；
（3）x₁²+x₂²+…+x_n²=99．
求x₁³+x₂³+…+x_n³的最大值和最小值．

答案

设x1，x2，…xn中有r个-1，s个1，t个2，则−r+s+2t＝19r+s+4t＝99，得3t+s=59，0≤t≤19，∴x13+x23+…+xn3=-r+s+8t=6t+19，∴19≤x13+x23+…+xn3≤6×19+19=133，在t=0，s=59，r=40时，x13+x23+…+xn3，取得最小值1...