如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证： （1）BQ=CQ； （2）BQ+AQ=AB+BP．

题目

如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：

（1）BQ=CQ；   
（2）BQ+AQ=AB+BP．

答案

证明：（1）∵BQ是∠ABC的角平分线，
∴∠QBC=

1

2

∠ABC．
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，且∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，
∴∠QBC=

1

2

×80°=40°，
∴∠QBC=∠C，
∴BQ=CQ；
（2）延长AB至M，使得BM=BP，连结MP．
∴∠M=∠BPM，
∵△ABC中∠BAC=60°，∠C=40°，
∴∠ABC=80°，
∵BQ平分∠ABC，
∴∠QBC=40°=∠C，
∴BQ=CQ，
∵∠ABC=∠M+∠BPM，
∴∠M=∠BPM=40°=∠C，
∵AP平分∠BAC，
∴∠MAP=∠CAP，
在△AMP和△ACP中，
∵

∠M＝∠C ∠MAP＝∠CAP AP＝AP

∴△AMP≌△ACP，
∴AM=AC，
∵AM=AB+BM=AB+BP，AC=AQ+QC=AQ+BQ，
∴AB+BP=AQ+BQ．

（1）由三角形的内角和就可以得出∠ABC=80°，再由角平分线就可以得出∠QBC=40°，就有∠QBC=∠C而得出结论；
（2）延长AB至M，使得BM=BP，连结MP，根据条件就可以得出∠M=∠C，进而证明△AMP≌△ACP就可以得出结论．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．