已知二次函数y=f(x)=x2+bx+c的图象过点(1,13),且函数y=f(x−1/2)是偶函数. (1)求f(x)的解析式; (2)函数y=f(x)的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐

已知二次函数y=f(x)=x2+bx+c的图象过点(1,13),且函数y=f(x−1/2)是偶函数. (1)求f(x)的解析式; (2)函数y=f(x)的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐

题目
已知二次函数y=f(x)=x2+bx+c的图象过点(1,13),且函数y=f(x−
1
2
)
是偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)函数y=f(x)的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐标是一个完全平方数?如果存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案
(1)因为函数y=f(x−
1
2
)
是偶函数,
所以二次函数f(x)=x2+bx+c的对称轴方程为x=−
1
2
,故b=1.----------------------(4分)
又因为二次函数f(x)=x2+bx+c的图象过点(1,13),所以1+b+c=13,故c=11.
因此,f(x)的解析式为f(x)=x2+x+11.-------------------------------------(5分)
(2)如果函数y=f(x)的图象上存在符合要求的点,设为P(m,n2),其中m为正整数,n为自然数,则m2+m+11=n2,从而4n2-(2m+1)2=43,即[2n+(2m+1)][2n-(2m+1)]=43.------------------(9分)
注意到43是质数,且2n+(2m+1)>2n-(2m+1),2n+(2m+1)>0,所
以有
2n+(2m+1)=43
2n−(2m+1)=1
解得
m=10
n=11.

因此,函数y=f(x)的图象上存在符合要求的点,它的坐标为(10,121).(14分)
(1)根据函y=f(x−
1
2
)
是偶函数可求得二次函数f(x)的对称轴方程,从而可求得b,二次函数f(x)=x2+bx+c的图象过点(1,13),可求c,即可求f(x)的解析式;
(2)如果函数y=f(x)的图象上存在符合要求的点,设为P(m,n2),从而4n2-(2m+1)2=43,由此求得m、n的值,从而得出结论.

二次函数的性质.

本题主要考查二次函数的性质应用,考查学生的计算能力,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.

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