已知：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y),x.y取任何实数且f(0)不等于0,求证：f(x)为偶函数

题目

已知：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y),x.y取任何实数且f(0)不等于0,求证：f(x)为偶函数

答案

依题意有f(0+0)+f(0-0)=2f(0)*f(0)
又f(0)不等于0
所以f(0)=1
当x=0,y取任何实数时
f(0+y)+f(0-y)=2f(0)*f(y)=2f(y)
所以f(-y)=f(y)
所以f(x)为偶函数