高代题：设A是n级方阵,α是n维列向量,若A^n-1α≠0,而A^nα=0,试证明α,Aα,…,A^n-1α 线性无关

题目

高代题：设A是n级方阵,α是n维列向量,若A^n-1α≠0,而A^nα=0,试证明α,Aα,…,A^n-1α 线性无关

答案

设k0α+k1Aα+…+k(n-1)A^(n-1)α=0
同时左乘A^(n-1)
由于A^nα=0 所以A^(i)α=0(i>=n)
于是得到k0A^(n-1)α=0 又A^n-1α≠0 则k0=0
于是得到k1Aα+…+k(n-1)A^(n-1)α=0
同时左乘A^(n-2) 同理可以得到k1=0
以此类推 得到ki=0(i=0,1,2,3,...,n-1)
于是得到α,Aα,…,A^n-1α 线性无关