如图,D是△ABC的BC边上一点且CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线. 求证:∠C=∠BAE.

如图,D是△ABC的BC边上一点且CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线. 求证:∠C=∠BAE.

题目
如图,D是△ABC的BC边上一点且CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线.
求证:∠C=∠BAE.
答案
证明:延长AE到F,使EF=AE,连接DF,
∵AE是△ABD的中线
∴BE=ED,
在△ABE与△FDE中
BE=DE
∠AEB=∠DEF
AE=EF

∴△ABE≌△FDE(SAS),
∴AB=DF,∠BAE=∠EFD,
∵∠ADB是△ADC的外角,
∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD,
∴∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠BAE=∠EFD,
∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD,
∴∠ADF=∠ADC,
∵AB=DC,∴DF=DC,
在△ADF与△ADC中
AD=AD
∠ADF=∠ADC
FD=DC

∴△ADF≌△ADC(SAS)
∴∠C=∠AFD=∠BAE.
延长AE到F,使EF=AE,连接DF,可证明△ABE≌△FDE,则∠BAE=∠EFD,∠B=∠EDF,再由外角的性质得出∠ADF=∠ADC,则△ADF≌△ADC(SAS),则∠AFD=∠C,从而得出∠C=∠BAE.

相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.

本题考查了全等三角形的判定和性质,解题的关键是证明两个三角形全等.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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