设函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c为实数,且a≠0),f(x)={f(x)x>0 －f(x)x0,且f（x）为偶函数,证明f（m）+f（n）>0.

题目

设函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c为实数,且a≠0),f(x)={f(x)x>0 －f(x)x0,且f（x）为偶函数,证明f（m）+f（n）>0.

答案

（Ⅰ）因为f（x）=ax2+bx+c,所以f'（x）=2ax+b．
又曲线y=f（x）在点（-1,f（-1））处的切线垂直于y轴,故f'（-1）=0,
即-2a+b=0,因此b=2a．①
因为f（-1）=0,所以b=a+c．②
又因为曲线y=f（x）通过点（0,2a+3）,
所以c=2a+3．③
解由①,②,③组成的方程组,得a=-3,b=-6,c=-3．
从而f（x）=-3x2-6x-3．
所以F(x)= -3(x+1)2 x＞0 3(x+1)2 x＜0.（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-3x2-6x-3,
所以g（x）=kx-f（x）=3x2+（k+6）x+3．
由g（x）在[-1,1]上是单调函数知：-k+6 6 ≤-1或-k+6 6 ≥1,
得k≤-12或k≥0
（Ⅲ）因为f（x）是偶函数,可知b=0．
因此．
又因为mn＜0,m+n＞0,
可知m,n异号．
若m＞0,则n＜0．
则F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am2+c-an2-c=a（m+n）（m-n）＞0．
若m＜0,则n＞0．
同理可得F（m）+F（n）＞0．
综上可知F（m）+F（n）＞0．