类型1 递推公式为
解法:把原递推公式转化为,利用累加法求解。
例1. 已知数列满足,求。
解:由条件知:
分别令,代入上式得个等式累加之,即
所以
又因为
所以
类型2 递推公式为
解法:把原递推公式转化为,利用累乘法求解。
例2. 已知数列满足,求。
解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即
所以
又因为,所以。
类型3 递推公式为(其中p,q均为常数,)。
解法:把原递推公式转化为:
其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
例3. 已知数列中,,求。
解:设递推公式
可以转化为
即,所以
故递推公式为
令,则,且
所以是以为首项,2为公比的等比数列,则
所以
类型4 递推公式为(其中p,q均为常数,)。
解法:该类型较类型3要复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:
引入辅助数列(其中),得:
再应用类型3的方法解决。
例4. 已知数列中,,求。
解:在两边乘以得:
令,则
应用例3解法得:
所以
类型5 递推公式为(其中p,q均为常数)。
解法:先把原递推公式转化为
其中s,t满足,再应用前面类型的方法求解。
例5. 已知数列中,,求。
解:由可转化为
即
所以
解得:或
这里不妨选用(当然也可选用,大家可以试一试),则
所以是以首项为,公比为的等比数列
所以
应用类型1的方法,令,代入上式得个等式累加之,即
又因为,所以。
类型6 递推公式为与的关系式。
解法:利用进行求解。
例6. 已知数列前n项和。
(1)求与的关系;
(2)求通项公式。
解:(1)由得:
于是
所以
即
(2)应用类型4的方法,上式两边同乘以得:
由,得:
于是数列是以2为首项,2为公差的等差数列,所以
故
类型7 双数列型
解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
例7. 已知数列中,;数列中,。当时,,求。
解:因
所以
即
又因为
所以
即
由<1>、<2>得:
© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.