已知如图，正方形ABCD中，E为DC上一点，连接BE，作CF⊥BE于P交AD于F点，若恰好使得AP=AB．求证：E为DC中点．

题目

已知如图，正方形ABCD中，E为DC上一点，连接BE，作CF⊥BE于P交AD于F点，若恰好使得AP=AB．求证：E为DC中点．

答案

证明：过A作AM⊥BE与M．
∴∠AMB=∠AMP=90°，
∴∠1+∠3=90°   
∵BE⊥CF
∴∠4=90°
∴∠AMB=∠4    
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=90°．
即∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3
∵在△ABM和△BCP中，

∠AMB＝∠4 ∠3＝∠2  AB＝BC

，
∴△ABM≌△BCP（AAS）
∴AM=BP   
∵AP=AB，AM⊥BE，
∴BM=

1

2

BP=

1

2

AM．
∵∠2=∠3，∠AMB=∠BCE，
∴△ABM∽△BEC
∴

BM

AM

＝

CE

BC

＝

1

2

∵BC=DC
∴CE=

1

2

DC．
∴E为DC中点．

过A作AM⊥BE与M，根据条件可以得出△ABM≌△BCP，可以得出AP=AB，进而可以得出△ABM∽△BEC由相似三角形的性质就得出CE=

1

2

DC，从而可以得出结论．

本题考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时正确作出辅助线是解答本题的关键．