设x=a+b-c，y=a+c-b，z=b+c-a，其中a，b，c是待定的质数，如果x2=y，z−y＝2，试求积abc的所有可能的值．

题目

设x=a+b-c，y=a+c-b，z=b+c-a，其中a，b，c是待定的质数，如果x²=y，

z

−

y

＝2，试求积abc的所有可能的值．

答案

因为a+b-c=x，a+c-b=y，b+c-a=z，联立解得
（a，b，c）=（

1

2

(x+y)，

1

2

(x+z)，

1

2

(y+z)）（5分）
又y=x²，于是有：a＝

1

2

(x+x2)，（1）
b=

1

2

（x+z），（2）
c＝

1

2

(x2+z)，（3）
由（1）解得x=

−1± 1+8a

2

（4）
因x是整数，得1+8a=T²，其中T是正奇数，（10分）
于是，2a＝

T−1

2

•

T+1

2

又a是质数，故只能有

T+1

2

＝a

T−1

2

＝2
所以T=5，a=3．（15分）
代a=3入（4）得x=2，-3
当x=2时，y=x²=4，因而有

z

−2＝2，z＝16，
代入（2）、（3）得b=9，c=10，与b、c是质数矛盾，应舍去．（20分）
当x=-3时，y=9，

z

−3＝2，
所以z=25代入（2）、（3）得b=11，c=17，
故abc=3×11×17=561．（25分）

首先把x当作已知数，则a，b，c都可以利用x表示出来，可以得到x=

−1± 1+8a

2

，根据x是整数，则1+8x一定是一个平方数，设1+8a=T²，其中T是正奇数，即2a＝

T−1

2

•

T+1

2

，根据a是质数，即可求得T的值．从而求得x的值，进而求解．

本题考点：质数与合数．

考点点评：本题主要考查了质数的性质，根据质数的性质求得T的值是解决本题的关键．