在直角三角形ABC中,角BAC=90度,AC垂直BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AB于F,OE垂直OB交BC边于点E.

题目

在直角三角形ABC中,角BAC=90度,AC垂直BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AB于F,OE垂直OB交BC边于点E.
1、求证三角形ABF相似于三角形COE
2、当O为AC边中点,AC/AB=2时,如图2,求OF/OE的值
3、当O为AC边中点,AC/AB=N时,请直接写出OF/OE的值
PS:在直角三角形ABC中,角BAC=90度,AD垂直BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于F

答案

1.
因为AB垂直于AC,BO垂直于OE 所以角ABF=角COE
因为AB垂直于AC,AD垂直于BC 所以角BAF=角OCE
所以三角形ABF相似于三角形COE
3.
为区别 AC=n*AB
做OG垂直于BC垂足为G,可知AD平行于OG
易得三角形ADF相似于三角形AGO相似于三角形AOE
O为AC中点 所以AO=OC=n*AB/2
BO=SQRT(n^2+4)*AB/2
三角形ABC相似于三角形GOC
OG=n*AB/(2*sqrt(n^2+1))
三角形ABD相似于三角形CBA
BD=AB/SQRT(n^2+1)
由勾股定理
BG=(n^2+2)*AB/(2*sqrt(n^2+1))
三角形ADF相似于三角形AGO
BF=SQRT(n^2+4)*AB/(n^2+2)
OF=BO-BF=n^2*SQRT(n^2+4)*AB/((n^2+2)*2)
三角形BDF相似于三角形OGE
OE=BF*OG/BD=n*SQRT(n^2+4)*AB/((n^2+2)*2)
OF/OE=n
所以当O为AC边中点,AC/AB=n时,OF/OE=n
2.由3可知
所以当O为AC边中点,AC/AB=2时,OF/OE=2