四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形,∠ABC=60,侧棱PA垂直于平面ABCD

题目

四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形,∠ABC=60,侧棱PA垂直于平面ABCD
PC与平面ABCD所成角的大小为arctan2 M为PA中点
1 求四棱锥P-ABCD的体积
2 求异面直线BM与PC所成角的大小 结果用反三角表示

答案

tanPCA=2,且AB=BC=CD=DA=AC=2,所以PA=4,且PA垂直于平面ABCD,所以体积=（1/3）*s*h=(1/3)*2倍根号3*4=(8倍根号3)/3
设AC交BD于N,由于M,N分别为PA,AC中点,所以MN平行于PC,所以BM与PC所成角的大小就是角BMN
PA垂直于面ABCD,所以PA垂直于BD,又BD垂直于AC,所以BD垂直于面PAC,所以BD垂直于MN,MN=(1/2)*PC=(1/2)*根号下（2方+4方）=根号5,BN=根号3,所以tan角BMN=根号3/根号5,所以BM与PC所成角的大小=arctan[（根号15）/5]