曲线根号x+根号y=1的点到原点的距离最小值为?

题目

曲线根号x+根号y=1的点到原点的距离最小值为?

答案

易知,0《x,y《1.设x=t^2(0《t《1).则y=(1-t)^2.曲线上的点(t^2,(1-t)^2)到原点的距离d为：d^2=f(t)=t^4+(1-t)^4.故问题可化为,求函数f(t)=t^4+(1-t)^4在[0,1]上的最小值.求导得f'(t)=4t^3-4(1-t)^3=0===>t=1/2.经讨论知,当t=1/2时,函数f(t)取得最小值,f(t)min=f(1/2)=2*(1/2)^4.故曲线上的点到原点的距离最小为√2/4.