设P是椭圆x2a2+y2=1(a>1)短轴的一个端点,Q为椭圆上一个动点,求|PQ|的最大值.

设P是椭圆x2a2+y2=1(a>1)短轴的一个端点,Q为椭圆上一个动点,求|PQ|的最大值.

题目
设P是椭圆
x2
a2
+y2
=1(a>1)短轴的一个端点,Q为椭圆上一个动点,求|PQ|的最大值.
答案
由已知得到P(0,1)或P(0,-1)
由于对称性,不妨取P(0,1)
设Q(x,y)是椭圆上的任一点,
则|PQ|=
x2+(y-1)2
,①
又因为Q在椭圆上,
所以,x2=a2(1-y2),
|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2
=(1-a2)(y-
1
1-a2
2-
1
1-a2
+1+a2.②
因为|y|≤1,a>1,若a≥
2
,则|
1
1-a2
|≤1,
所以如果它包括对称轴的x的取值,那么就是顶点上取得最大值,
即当-1≤
1
1-a2
≤1时,
在y=
1
1-a2
时,|PQ|取最大值
a2
a2-1
a2-1

如果对称轴不在y的取值范围内的话,那么根据图象给出的单调性来求解.
即当
1
1-a2
<-1时,则当y=-1时,|PQ|取最大值2.
依题意可知|PQ|=
x2+(y−1)2
,因为Q在椭圆上,所以x2=a2(1-y2),|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2
=(1-a2)(y-
1
1−a2
2-
1
1−a2
+1+a2.由此分类讨论进行求解.

椭圆的应用.

本题考查椭圆的基本性质及其应用,解题时要认真审题,细心计算.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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