如图，P为经段AB上一点，以AP为边作一正方形APMN，以BP为底在另一侧作等腰△BPQ，连接MQ，若AB的长为4，则△MPQ的面积的最大值等于_．

题目

如图，P为经段AB上一点，以AP为边作一正方形APMN，以BP为底在另一侧作等腰△BPQ，连接MQ，若AB的长为4，则△MPQ的面积的最大值等于______．

答案

设AP=x，则BP=4-x，MP=AP=x，Q点到MP的距离等于B点到MP的距离的一半．
∵S△MPQ＝

1

2

x•

4−x

2

＝

1

4

(4x−x2)＝

1

4

[4(x−2)2]≤1．
∴当x=2时，S_△MPQ=1为最大值．
故答案为：1．