在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，若a+b=2，且2S=c2-（a-b）2； （1）求sinC/1−cosC的值； （2）求S的最大值．

题目

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，若a+b=2，且2S=c²-（a-b）²；
（1）求

sinC

1−cosC

答案

（1）∵S=

1

2

absinC，
∴2S=absinC=c²-（a-b）²，化简得ab（sinC-2）=-（a²+b²-c²）
∵根据余弦定理，得a²+b²-c²=2abcossC
∴ab（sinC-2）=-2abcossC，整理得sinC=2-2cosC
由此可得：

sinC

1−cosC

＝

2−2cosC

1−cosC

＝2；…（5分）
（2）由（1）得

sinC

1−cosC

＝2，结合sin²C+cos²C=1解得sinC=

4

5

∴S=

1

2

absinC=

2

5

ab
∵a+b=2，∴S=

2

5

a(2−a)＝−

2

5

[(a−1)2−1]≤

2

5

，
当且仅当a=b=1时，面积S的最大值为

2

5

．…（10分）