当x=2或x=3时,多项式Q=x^4+ax^3+32x^2+bx+66的值为0,求Qx^2-5x+6的商式和余式

题目

当x=2或x=3时,多项式Q=x^4+ax^3+32x^2+bx+66的值为0,求Qx^2-5x+6的商式和余式

答案

分别把x=2,x=3代入多项式Q,得：
2^4+a*2^3+32*2^2+b*2+66=0
3^4+a*3^3+32*3^2+b*3+66=0
解得：a=-8; b=-73
∴Q=x^4-8x^3+32x^2-73x+66
Q=x^4-8x^3+32x^2-73x+66
=x^4-5x^3+6x^2-3x^3+15x^2-18x+11x^2-55x+66
=x^2(x^2-5x+6)-3x(x^2-5x^2+6)+11(x^2-5x+6)
=(x^2-3x+11)(x^2-5x+6)
所得的商式=x^2-3x+11
余式=0