关于曲线系方程的问题

题目

关于曲线系方程的问题
1 为什么过2圆交点的圆系方程可以设为 k1(x^2+y^2+D1x+E1y+F1)+k2(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 ,(k1^2+k2^2>0,且k1+k2≠0）
2 和1类似,为什么一条线与已知圆相交于两点,过2个交点的圆系方程可以设为 x^2+y^2+Dx+Ey+F+K(AX+BY+C)=O
3 已知圆C1及圆上一点(m,n),为什么C1+K[(x-m)^2+(y-n)^2]=0 k为参数
表示与C1相切于(m,n)的圆系
4 同3,为什么未知圆与直线Ax+By+C=0相切于(m,n）这个圆可以设为（x-m)^2+(y-n)^2+k(Ax+By+C)=0
其实是一类问题 分用光了= - 所以.见谅

答案

这类问题涉及到圆幂和根轴的有关知识.
圆幂定义为平面上有一点P,有一圆O,其半径为R,则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂.
根轴的定义为在平面上任给两不同心的圆,则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线,这条线称为这两个圆的根轴.
容易证明:
1) 若两圆相交,则两圆的根轴为公共弦所在的直线；
2) 若两圆相切,则两圆的根轴为它们的内公切线；
3)任意两圆x^2+y^2+D1x+E1y+F1和x^2+y^2+D2x+E2y+F2,根轴方程为 (D1-D2)x+(E1-E2)y + F1-F2 = 0
有了以上知识,首先可以证明第二题,然后是第一题.
第三题和第四题也类似.可以先证明第四题再证明第三题.