一元二次方程(初中）

题目

一元二次方程(初中）
⑴已知一元二次方程x²-4x+k=0有两个不相等的实数根,如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x²-4x+k=0与x²+mx-1=0有一个相同的根,求此时m的值
⑵已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边,且关于x的方程(c-b)x²+2(b-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状
（写出步骤)

答案

[1] x²-4x+k=0有两个不相等的实数根,则 △²=16-4k>0
如果k是符合条件的最大整数,则k=3
x²-4x+k=0 即为 x²-4x+3=0 其解为 x=1或x=3
若x=1是相同的根,代入x²+mx-1=0,得m=0 此方程另一根为-1,符合“有一个相同的根”
若x=3是相同的根,代入x²+mx-1=0,得m=-8/3,此方程另一根为-1/3,也符合“有一个相同的根”
故m值可能为 0 或者 -8/3
[2] 有两相等实根,则△²=4(b-a)²-4(c-b)(a-b)=0
即 (a-b)²=(c-b)(a-b) ②
若 a=b,原方程化为：(c-b)x²=0 显然c-b不能为0,要不原方程无意义
此时△ABC为等腰三角形,且非等边三角形(a=b≠c)
若 a≠b,②化为：a-b=c-b ,即 a=c
原方程为：(c-b)x²+2(b-c)x+(c-b)=0 同样c-b不能为0,要不无意义
于是原方程继续化为：x²-2x+1=0
此时三角形为等腰三角形,且非等边三角形(a=c≠b)
综上,有△ABC为等腰△,且非等边△