已知函数f(x)=px-p/x-2lnx

题目

已知函数f(x)=px-p/x-2lnx
设函数g(x)=2e/x,若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)＞g(x0)成立,求实数p的取值范围
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答案

这种问题是恒成立问题,首先求出g(x)在该区间的取值范围,再看f(x)大于或大于等于g(x)的最大值恒成立,就可以得到p的取值：
g'(x)=-2e/x²很明显g(x)在[1,e]上为减函数取值范围为[2,2e],要使f(x)>g(x)在[1,e]上成立,需
f(x)>2e即px-p/x-2lnx>2e,令h(x)=px-p/x-2lnx-2e,h'(x)=p+p/x²-2/x=(px²-2x+p)/x²
若p=0：原函数为f(x)=-2lnx,取值范围为[-2,0]明显不成立
若p≠0：h(x)=0得到x=1+(1-p²)^1/2或1-(1-p²)^1/2
p>0时,不可能有该式子成立
p