已知函数f(x)对任意实数x,y,总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)成立,求证：f(x)为偶函数

题目

已知函数f(x)对任意实数x,y,总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)成立,求证：f(x)为偶函数

答案

在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中
令y=0 则又 f(x）+f(x)=2f(x)f(0)
如果f(x)恒等于0,则它为偶函数
考虑f（x）不恒等于0时,得f（0）=1
再在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中 令x=0
得 f（y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)
得 f(-y）=f（y） 所以 f(x)为偶函数