A(5,0)B(0,5)C(cosα,sinα)α∈(0,π) 若AC向量⊥BC向量,求sin2α 若|OA+OC|=根

题目

A(5,0)B(0,5)C(cosα,sinα)α∈(0,π) 若AC向量⊥BC向量,求sin2α 若|OA+OC|=根
根号31,求OB和OC的夹角

答案

向量AC=(cosa-5,sina),BC=(cosa,sina-5)
AC*BC=cosa(cosa-5)+sina(sina-5)=0
(cosa)^2-5(cosa+sina)+(sina)^2=0
cosa+sina=1/5
二边平方得:1+2sinacosa=1/25
即有sin2a=1/25-1=-24/25
OA+OC=(5+cosa,sina)
|OA+OC|^2=25+10cosa+(cosa)^2+(sina)^2=31
cosa=1/2
设OB,OC的夹角是@,则有OB*OC=|OB||OC|cos@
5sina=5*1cos@
即有cos@=sina=根号3/2
即夹角是30度