如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD‖BC,∠ABC=90° ,PA⊥面ABC,PA=4,AD=2,AB=2√3,BC=6

题目

如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD‖BC,∠ABC=90° ,PA⊥面ABC,PA=4,AD=2,AB=2√3,BC=6
求二面角P-BD-C的大小
请用两种方法做、

答案

法1（立体几何法）
二面角P-BD-C是二面角P-BD-A的补角.PB=√(PA^2+AB^2)=2√7,PD=√(PA^2+AD^2)=2√5,BD=√(AD^2+AB^2)=4.这是个锐角三角形,所以过P作BD的垂线垂足在BD上,作PE⊥BD交BD于E.设BE=x,则DE=4-x.由PB^2-BE^2=PD^2-DE^2得：(2√7)^2-x^2=(2√5)^2-(4-x)^2,解得x=3.故PE=√[(2√7)^2-3^2]=√19.
连接EA.则sin∠PEA=PA/PE=4/√19=4√19/19,∠PEA=arcsin4√19/19,所以二面角P-BD-C为π-arcsin4√19/19.
法2（空间向量法）
在图形空间建立三维直角坐标系,A为原点(0,0,0),向量AB方向为x轴正方向,向量AD方向为y轴正方向,向量AP方向为z轴正方向.
B(2√3,0,0),C(2√3,6,0),D(0,2,0),P(0,0,4)
平面PBD过P、B、D三点,其平面方程为x/2√3+y/2+z/4=1,化简得：2x+2√3y+√3z-4√3=0.则该平面方向向上的一条法向量n1=(2,2√3,√3).
平面CBD过B、C、D三点,其平面方程为z=0.该平面方向向上的单位法向量n2=(0,0,1).
两条法向量的夹角即为二面角P-BD-C的补角.
cos=(n1·n2)/|n1||n2|=(2*0+2√3*0+√3*1)/√19=√57/19.
故二面角P-BD-C的大小为π-arccos√57/19=π-arcsin4√19/19