中心在原点，一个焦点为F1（0，50）的椭圆截直线y=3x-2所得的弦的中点的横坐标为1/2，求椭圆的方程．

题目

中心在原点，一个焦点为F₁（0，

50

）的椭圆截直线y=3x-2所得的弦的中点的横坐标为

1

2

，求椭圆的方程．

答案

设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1（a＞b＞0），由F1（0，50）得a2-b2=50．把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得（a2+9b2）x2-12b2x+b2（4-a2）=0．设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则由根与系数的关系得x1+x...

先根据焦点坐标得出a2-b2=50，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．