设O为坐标原点,P1(x1,y1)和P2(x2,y2)为单位圆上的两点,且∠P1OP2=θ.求证:x1x2+y1y2=cosθ

题目

设O为坐标原点,P1(x1,y1)和P2(x2,y2)为单位圆上的两点,且∠P1OP2=θ.求证:x1x2+y1y2=cosθ

答案

向量OP₁ = (x₁,y₁)
向量OP₂ = (x₂,y₂)
向量OP₁• 向量OP₂ = x₁x₂ + y₁y₂
另外P₁,P₂在单位圆上,|向量OP₁| = |向量OP₂| =1
向量OP₁• 向量OP₂ = |向量OP₁| * |向量OP₂| cosθ = 1*1*cosθ = cosθ
x₁x₂ + y₁y₂ = cosθ