设函数f（x）=2x3-3（a-1）x2+1，其中a≥1． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）讨论f（x）的极值．

题目

设函数f（x）=2x³-3（a-1）x²+1，其中a≥1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）讨论f（x）的极值．

答案

由已知得f′（x）=6x[x-（a-1）]，
令f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=a-1．
（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x²，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增
当a＞1时，f′（x）=6x[x-（a-1）]，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

从上表可知，函数f（x）在（-∞，0）上单调递增；在（0，a-1）上单调递减；在（a-1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
当a=1时，函数f（x）没有极值．
当a＞1时，函数f（x）在x=0处取得极大值，在45⁰处取得极小值1-（a-1）³．