求由y=x，y=x所围成的图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．

题目

求由y=x，y=

x

所围成的图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．

答案

由于y=x，y=

x

的交点为（0，0）和（1，1）
∴两者所围成的图形面积
A=

∫

1 0

(

x

-x)dx=

2

3

-

1

2

=

1

6

图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积
V=π

∫

1 0

[(

x

)2-x2]dx=π(

1

2

-

1

3

)=

π

6

首先，求出两条曲线的交点；然后，利用定积分求出平面图形的面积，将旋转体看成两个旋转体体积之差，利用旋转体体积公式计算即可．

本题考点：旋转体的体积及侧面积的计算．

考点点评：此题考查平面图形面积和旋转体的体积求法．对于旋转体的体积，如果是规则图形，我们可以直接用已有的体积公式计算，否则就得用定积分来求解了．