傅里叶级数和函数

题目

傅里叶级数和函数

答案

先计算f(x)的Fourier系数
a0=(1/π)*∫(-π,π) f(x) dx=(1/π)*∫(0,π) (x+1) dx=(1/π)*(x^2/2+x) | (0,π)=(1/π)(π^2/2+π)=π/2+1
an=(1/π)*∫(-π,π) f(x)cos(nx) dx=(1/π)*∫(0,π) (x+1)cos(nx) dx=((-1)^n-1)/(πn^2)
bn=(1/π)*∫(-π,π) f(x)sin(nx) dx=(1/π)*∫(0,π) (x+1)sin(nx) dx=((π+1)(-1)^(n+1)+1)/(πn)
由此可得
f(x)~S(x)=a0/2+∑(n=1,∞)(an*cos(nx)+bn*sin(nx))
=π/4+1/2+∑(n=1,∞)([((-1)^n-1)/(πn^2)]*cos(nx)+[((π+1)(-1)^(n+1)+1)/(πn)]*sin(nx))
又因为f(x)为逐段可微函数
因此S(x)收敛到[f(x+0)+f(x-0)]/2
那么,S(2π)=S(0)=[f(0+0)+f(0-0)]/2=(1+0)/2=1/2
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