如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，MN⊥AB于N． 求证：AC2+BN2=AN2．

题目

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，MN⊥AB于N．
求证：AC²+BN²=AN²．

答案

证明：∵MN⊥AB于N，
∴BN²=BM²-MN²，AN²=AM²-MN²
∴BN²-AN²=BM²-AM²，
又∵∠C=90°，
∴AM²=AC²+CM²
∴BN²-AN²=BM²-AC²-CM²，
又∵BM=CM，
∴BN²-AN²=-AC²，
即AC²+BN²=AN²．