求直线把平面分成的区域个数 （1）平面上有几条直线,每两条直线都恰好相交,且

题目

求直线把平面分成的区域个数 （1）平面上有几条直线,每两条直线都恰好相交,且
（1）平面上有几条直线,每两条直线都恰好相交,且没有三条直线交于一点,处于这种位置的n条直线分一个平面所成的区域最多,记为an,试用列表的方法探究an与n之的关系

答案

n =1,2,3,4,5,6,7
an=2,4,7,11,16,22,29
推测：an=(n^2+n+2)/2 .
可以这样思考：前面的n-1条直线最多将平面分成 a(n-1) 个区域,再添一条直线后,这条直线与前面n-1条直线各有一个交点,因此最多有 n-1 个交点.这n-1个交点把该条直线分成了 n 段,每段都将它所在的区域划分成两个区域,所以 增加一条直线后,区域增加了 n 个 ,
就是说 an=a(n-1)+n ,
所以 a1=2 ,
a2=a1+2,
a3=a2+3,
.
an=a(n-1)+n ,
累加可得 an=n+(n-1)+(n-2)+...+2+2=(n^2+n+2)/2 .